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정보의 바다

A4용지를 50번 접으면 벌어지는 일

여러분 앞에 A4용지가 하나 있다고 생각해 봅시다. 반으로 접어봅니다. 뭐 특별할 것은 없습니다. 그 상태에서 다시 반으로 접습니다. 이 역시 특별할 것은 없죠. 또 반으로 접어 봅니다. 그냥 접혀진 종이일 뿐이라고 생각될 것입니다. 그런데 만일 50번 정도 접으면 어떤 일이 벌어질까요?

아마도 종이가 작아서 접기 힘들지 않을까? 라고 생각했을 수도 있겠습니다. 하지만 그것보다 더 놀라운 일이 벌어지는 것을 보게 될 것입니다. 종이가 작아서 접기 힘들다면 충분히 접기 큰 종이를 제공한다고 했을 때 여러분은 이 종이를 50번 접을 수 있게 될까요?

이는 유명한 수학 실험 중 하나입니다. 실제로 계산해 보면서 A4용지를 50번 정도 접어보도록 하겠습니다.

 

A4용지 50번 접기

일단 A4용지의 두께가 약 0.14mm 정도라고 생각해 봅시다. 이 종이를 한번 접게 되면 두께가 어떻게 될까요? 0.14mm가 두번 쌓이니 0.14mm x 2 = 0.28mm가 될 것입니다.

한번 더 접으면 어떻게 될까요? 두겹이 된 종이를 한번 더 접으면 네겹이 됩니다. 두께는 0.14mm x (2 x 2) = 0.56mm 가 됩니다. 세번 접으면 8장이 되면서 두께는 0.14mm x (2 x 2 x 2) = 1.12mm 가 됩니다. 2의 n승 만큼 종이가 쌓이면서 두께가 두꺼워지게 됩니다.

몇 번 접어도 그렇게 두꺼워지지 않습니다. 50번 접는다하여 큰 변화는 없을 것이라고 생각된다면 20번까지 접어보도록 하겠습니다. 아래 표에서 확인해 보세요.

0.14mm 두께의 종이 20번까지 접기
접는 횟수 두께 접는 횟수 두께
1번 0.28 mm 11번 286.72 mm
2번 0.56 mm 12번 573.44 mm
3번 1.12 mm 13번 1.15 M(미터)
4번 2.24 mm 14번 2.3 M(미터)
5번 4.48 mm 15번 4.6 M(미터)
6번 8.96 mm 16번 9.2 M(미터)
7번 17.92 mm 17번 18.4 M(미터)
8번 35.84 mm 18번 36.7 M(미터)
9번 71.68 mm 19번 73.4 M(미터)
10번 143.36 mm 20번 146.8 M(미터)

종이를 겨우 20번만 접었을 뿐인데 두께가 147미터가 되어버렸습니다. 42층의 서울숲 더 샵 아파트 건물만한 높이입니다. 눈을 의심하겠지만 계산상 틀린 것은 없습니다. 만일 20번 접는 것이 가능하다면 종이의 두께는 147m가 됩니다.

계산식은 0.14mm x (2^20) = 0.14mm x 1,048,576(2의 20승) = 146,800mm 이 됩니다.

그럼 이제 40번까지 접어보도록 하겠습니다.

0.14mm 두께의 종이 40번까지 접기
접는 횟수 두께 접는 횟수 두께
21번 294 M(미터) 31번 300 KM
22번 587 M(미터) 32번 601 KM
23번 1,174 M(미터) 33번 1,203 KM
24번 2,349 M(미터) 34번 2,405 KM
25번 4,697 M(미터) 35번 4,810 KM
26번 9,395 M(미터) 36번 9,621 KM
27번 18.8 KM(킬로미터) 37번 19,241 KM
28번 37.6 KM(킬로미터) 38번 38,483 KM
29번 75.2 KM(킬로미터) 39번 76,966 KM
30번 150.3 KM(킬로미터) 40번 15만 4천 KM

종이를 겨우 30번만 접게되면(그럴 수 있다면), 두께가 150 킬로미터(km)가 되어버렸습니다. 오로라가 발생하는 전리층까지 닿을 높이입니다. 여기서 10번만 더 접게 되면 두께가 15만 4천 킬로미터(km)로 지구에서 달까지 거리 38만 4천 km에 40%에 달하는 무지막지한 높이입니다. 지구에서 달까지 거리가 얼마나 먼지 알고 싶은 분들은 여기를 클릭해서 알아보세요.

계산식은 0.14mm x (2^40) = 0.14mm x 1,099,511,627,776(2의 40승) = 153,931,627,888mm 이 됩니다.

이제 한 10번만 더 접으면 50번이 됩니다. 50번까지 접어보도록 하죠.

0.14mm 두께의 종이 50번까지 접기
접는 횟수 두께 접는 횟수 두께
41번 30만 8천 KM 46번 985만 KM
42번 61만 6천 KM 47번 1,970만 KM
43번 123만 KM 48번 3,941만 KM
44번 246만 KM 49번 7,881만 KM
45번 493만 KM 50번 1억 5,763만 KM

어찌저찌 종이를 50번 접게 된다면 그 두께가 1억 5천만 킬로미터(km)가 넘게 됩니다. 이는 지구에서 태양까지 거리에 해당하는 엄청난 숫자입니다. 지구에서 태양까지 거리가 얼마나 먼지 알고 싶은 분들은 여기를 클릭해서 알아보세요.

계산식은 0.14mm x (2^50) = 0.14mm x 1,125,899,906,842,624(2의 50승) = 157,625,986,957,967mm 이 됩니다.

이 종이 접기 실험은 등비수열을 설명하는 대표적인 사고 시험입니다. 아무리 작은 숫자도 등비수열을 등에 업으면 놀라운 크기의 숫자가 될 수 있음을 보여줍니다.

혹여 누군가 여러분들에게 등비수열로 뭔가를 달라고 했을 때는 첫 작은 숫자에 혹하지 말고 주의하세요.